Question

求定义域的问题老是错

若函数f（x+3）的定义域为【-4，5】，则f（2x-3）的定义域为?
答案【1，11/2】习惯用-4《x+3《5
若函数f（x）的值域为【1，3】，则F（x）=1-2f（x+3）的值域为？
答案【-5，-1】
每做每错，应该是概念不清，希望详细解读一下

Answer 1

这个问题饿关键就是你得了解复合函数到底是怎么变过来的~~
f(x+3)这个函数的定义域实际上已经变成了括号里的x的函数
比如f(x)=x²，则f(x+3)=(x+3)²，而f(x+3)的定义域也就是f(x+3)=(x+3)²的x取值范围，而非原函数f(x)中x的取值范围。
所以上题应该是将x∈[-4,5]代入(x+3)得-1<(x+3)<8，所以对于原题中原函数f(x)的定义域为[-1,8]
所以-1<(2x-3)<8 得1<x<11/2 故f(2x-3)定义域[1,11/2]

第二题 因为f(x)的x取值中，在f(x+3)的x取值都能取到原函数括号里的x值，故对于函数f(x)和复合函数f(x+3)的值域是一样的。故2<2f(x+3)<6
所以F(x)的值域为[-5,-1]

Answer 2

定义域就是自变量的范围，值域就是因变量的范围，只要把自变量和因变量搞清楚就不会错。

1. f(x+3) 的自变量是 x, 所以 x ∈ [-4,5], 这样 x+3 ∈ [-1, 8], 注意到对于 f 来说, 自变量是 x + 3

所以 f 的定义域是 [-1, 8]

这样对 f(2x-3) 来说, 2x-3 就必需落在 [-1, 8] 里面, 于是 x ∈ [1, 11/2], 而这个新的 x 是 f(2x-3) 的自变量, 所以 f(2x-3) 的定义域是 [1, 11/2]

2. f (x) 的因变量就是 f(x), 所以 f(x) ∈ [1, 3]. 虽然 f(x+2) 看起来和 f(x) 不同, 但是它们的取值范围是一样的, 所以 f(x+2) ∈ [1, 3], 这样就得到 F 的取值范围.

追问

f(x+3) 的自变量是 x,后来怎么对于 f 来说, 自变量是 x + 3

追答

f 是一个映射, x+3 是另一个映射, f(x+3) 是这两个映射的复合映射, 和 f 是不同的

f(x+3) 其实是这样的, 先把 x 映射成 x+3, 再把 x+3 用 f 作用变成 f(x+3). 只是简写成 f(x+3)

f 是作用在 x+3 上面, 这才是 f 的自变量. 而 f(x+3) 是作用在 x 上, 所以自变量是 x

看一个函数的自变量要看这个函数是从谁开始作用的.

Answer 3

要点是：
一是函数要有意义。
二是对应关系要明确。
1、
f(2x - 3)
= f(2x-6 + 3)
2x-6 = -4 ，x = 1
2x-6 = 5 ，x = 11/2
所以，定义域为 [1，11/2]

2、
f(x+3) = 1，对于F 来说，F = 1 -2 = -1 。
f(x+3) = 3，对于F 来说，F = 1- 6 = - 5 。
所以，所求的值域为 [-5，-1]。

Answer 4

1.要记住f(x)与f(z)中，x和z的取值范围是相同的
2.要记住，定义域是指x的范围
我也常错，若有不明白再提问