Question

在△ABC中,∠BAC=90°,AF⊥BC于F,BC平分∠ABC交AF于E,交AC于D求证AE=AD

（1）证明：∵AF⊥BC（已知）
∴∠BFA=∠AFC=90°（垂直定义）
又∵BD平分∠ABC交AF于E，交AC于D（已知）
∴∠ABD=∠DBF（角平分线定义）
又∵∠BAC=90°（已知）
∴∠ADB=∠BEF=180°-∠DBF-∠BFE=180°-∠ABD-∠BAD（等式性质）
∴∠BEF=∠AED（对等角相等）
∴∠AED=∠ADE（等量代换）
∴AE=AD（等边对等角）
！！！！！用另一种方法解答此题！！！！！

Answer 1

证明：

∵AF⊥BC，∠BAC=90°

∴∠C+∠4=∠3+∠4=90°

∴∠3=∠C

∵∠ADE=∠C+∠2，∠AED=∠1+∠3

∵BD平分∠ABC

∴∠1=∠2

∴∠AED=∠ADE

∴AE=AD

Answer 2

◆换个证法如下.
证明:作DH⊥BC于H,连接EH;又AF⊥BC,则:DH∥AF.
∵BD平分∠ABC.(已知)
∴DH=DA.(角平分线的性质)
又BD=BD,则Rr⊿BDH≌Rt⊿BDA(HL),BH=BA.
∵BH=BA,BE=BE,∠HBE=∠ABE.
∴⊿HBE≌⊿ABE(SAS),∠BHE=∠BAE;
又∠C=∠BAE(均为∠CAE的余角).
∴∠C=∠BHE,得EH∥AC.
则四边形AEHD为平行四边形.(平行四边形的定义)
又DH=DA(已证),故平行四边形AEHD为菱形,AE=AD.

Answer 3

∵BD平分∠ABC交AF于E，交AC于D

∠ABD=∠DBF

又∠BAC=∠BFA=90°
三角形ABD 相似于三角形FBE
∴∠BEF=∠ADE

又∠BEF=∠AED

∴∠AED=∠ADE

∴AE=AD