Question

求数学学霸解两道题

Answer 1

如你所示

1. 对右边函数求导，可得在x=√2取极小值，要使只有唯一的整数使不等式成立，这个唯一的整数必须越靠近极小值处越好，在√2附近的整数位1和2，比较1和2可知在2处右边的函数值较小为2√2-2，1处较大为√3/2，所以最好a的取值能大于整数2时的值，小于整数1时的值，这样才只能有1个整数满足不等式

2. 这个只会用条件极值法，即拉格朗日乘数法

   令f(x)=a1^2+a2^2+a3^3+a4^2+a1a3+a2a4-μ（a1a4-a2a3-1）

   对f(x)分别求a1,a2,a3,a4的偏导数得出下面的线性方程组

   2a1+a3-μa4=0……………………①

   2a2+a4+μa3=0……………………②

   2a3+a1+μa2=0……………………③

   2a4+a2-μa1=0……………………④

   此线性方程组有非零解，所以系数矩阵行列式为0，即矩阵

   2  0  1  -μ

   0  2  μ  1

   1  μ  2  0

   -μ  1 0  2

   行列式为0，解之可得μ=±2或±√3

   另一方面a1*①+a2*②+a3*③+a4*④=0，整理移项，恰好有

   a1^2+a2^2+a3^3+a^4+a1a3+a2a4=μ（a1a4-a2a3）=μ

   所以最后原式就等于μ，将μ=±2带人上面的线性方程组解得a1=a2=a3=a4=0不对，所以等于±√3，我觉得最大值应该是√3，最小值是-√3