Question

sinαsinαcosα的最大值

Answer 1

设y=sinαsinαcosα，求最大值，那么不妨设sinα>0,cosα>0
y^2=4[(sinα)^2/2][(sinα)^2/2](cosα)^2≤4{[(sinα)^2/2+(sinα)^2/2+(cosα)^2]/3}^3
上式用到不等式：a>0,b>0,c>0，abc≤[(a+b+c)/3]^3，当a=b=c时等号成立。
y^2≤4/27，当(sinα)^2/2=(cosα)^2时，等号成立。
所以y的最大值为2√3/9
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设y=sinαsinαcosα=(1-cosαcosα)cosα
设x=cosα，x∈[-1,1]
y=x-x^3
求导y'=1-3x^2
当y'=0时，求得x=±√3/3
函数y=x-x^3在[-1,-√3/3)上递减，在[-√3/3,√3/3]上递增，在(√3/3,1]上递减
所以最大值在y(-1)和y(√3/3)中产生
y(-1)=0，y(√3/3)=√3/3-√3/9=2√3/9>y(-1)
所以y=sinαsinαcosα的最大值为2√3/9