Question

已知椭圆C的中心在坐标原点,离心率e=根号三/2,一个焦点的坐标为(根号三,0)

①求椭圆C的方程
②设直线l：y=1/2x+m与椭圆C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值

Answer 1

解：① ∵ e=√3/2=c/a c=√3
∴ a=2 b=a²-c²=4-3=1
椭圆方程为 x²/4+y²=1
②将y=1/2x+m代入所求椭圆方程
1/4x²+1/4x²+mx+m²-1=0
1/2x²+mx+m²-1=0
x²+2mx+2m²-2=0
由维达定理知道
x1+x2=-2m， x1x2=2m²-2 (x1-x2)²=（x1+x2)²-4x1x2=4m²-4(2m²-2)=8-4m²
|AB|=√【(x1-x2)²+(y1-y2)²】=√【(1+K²)(x1-x2)²】=√[(1+1/4)(8-4m²)]=√[5(2-m²)]
A、B两点中点的横坐标(x1+x2)/2=-m,纵坐标为
y=1/2(-m)+m=1/2m
则垂直AB的平分线方程为 y-1/2m=-2(x+m) 令 y=0
2x+2m=1/2m
2x=-3/2m
x=-3/4m
T点坐标为（-3/4m，0）
设T点到|AB|距离为H
则H=2|1/2(-3/4)m+m|/√5=(√5/4)|m|
S▲TAB=1/2|AB|*H=1/8|m|√（2-m²）
S²=(1/64)m²（2-m²）=1/64[-(m²-1)²+1]
当且仅当 m²-1=0时 即 m=±1时 S▲TAB(max)=1/8