Question

在解一元二次方程时,小明粗心地将x^2项系数与常数项对换了，使得方程也变了。

在解一元二次方程时,小明粗心地将x^2项系数与常数项对换了，使得方程也变了。他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一个根等于原方程的一个根。那么，原方程两根的平方和是多少？

Answer 1

小明粗心地将x^2项系数与常数项对换了

恰恰说明两个方程的根互为倒数
因此
新方程的一个根是2，原方程的一个根是1/2
另一个根等于原方程的一个根，这个根可能是±1

所以
原方程两根的平方和

=(±1)^2+(1/2)^2=5/4

追问

为什么两方程的根互为倒数？
为什么另一个根是±1？

追答

设原方程是ax^2+bx+c=0
两边除以x^2得
c*(1/x)^2+b*1/x+a=0
看到了吧
这两个方程是不是根是互为倒数？

Answer 2

设两方程的公共根为t
设原方程为：ax^2+bx+c=0， 公共根为t, 另一根为x1
错误的方程为: cx^2+bx+a=0, 一个根为2 ,另一根为t
则代入两方程并相减得：a(t^2-1)+c(1-t^2)=0, 得：(a-c)(t^2-1)=0
因为a，c不等，所以有t^2=1,即公共根为1或-1
令P=t^2+x1^2=(t+x1)^2-2tx1=b^2/a^2-2c/a
t=1,对错误方程应用韦达定理：1+2=-b/c, 1*2=a/c, 得：c=a/2, b=-3c=-3a/2
P=9/4-1=5/4
t=-1, 对错误方程应用韦达定理：-1+2=-b/c, -1*2=a/c, 得：c=-a/2, b=-c=-a/2
P=1/4+1=5/4

追问

为什么要代入两方程并相减？

追答

这是通常求公共根的一个方法而已。

Answer 3

设两方程的公共根为t
设原方程为：ax^2+bx+c=0， 公共根为t, 另一根为x1
错误的方程为: cx^2+bx+a=0, 一个根为2 ,另一根为t
则代入两方程并相减得：a(t^2-1)+c(1-t^2)=0, 得：(a-c)(t^2-1)=0
因为a，c不等，所以有t^2=1,即公共根为1或-1
令P=t^2+x1^2=(t+x1)^2-2tx1=b^2/a^2-2c/a
t=1：1+2=-b/c, 1*2=a/c, 得：c=a/2, b=-3c=-3a/2
P=9/4-1=5/4
t=-1：-1+2=-b/c, -1*2=a/c, 得：c=-a/2, b=-c=-a/2
P=1/4+1=5/4 加分