Question

设f(x)在[0,π/2]上连续,在(0,π/2)内可导,且f(π/2)=0,试证存在一点ζ∈（0,π/2)使f（ζ）+tanζ*

f ‘（ζ）=0

Answer 1

f（ζ）+tanζ * f ‘（ζ）=0

两边同乘以cosζ可得
cosζf(ζ) + sinζf'(ζ)=0
下面是证明：
设g(x)=f(x)sin(x)
所以g'(x)=f(x)cosx + f'(x)sinx
g(0)=0,g(π/2)=0
所以存在ζ∈(0,π/2)使得g'(ζ)=0
而g'(ζ)=f(ζ)cosx+f'(ζ)sinζ=0
因为cosζ≠0
所以f(ζ)+f'(ζ)tanζ=0