Question

微分的概念性问题

我们知道微分中有dy=A ·（⊿x），为什么又出来个dy=A ·dx？dx和 （⊿x）有什么区别？微分的求法是不是求一个复杂函数的导数，最后乘个dx？假如dy=4dx，那么当x=0时，dy=4dx还是dy=4d0,还是dy=0？？为什么？

课本上的微分感觉好枯燥。。。。。（其实我觉得我的问题很基础。。。。）求解！

Answer 1

微分dy的理解。

⊿x指自变量x的变化量，是非无限小变化量。
dx是指x的无限小变化量。

⊿y指在自变量变化⊿x的时候y的变化量。
dy是指，在自变量x无限小变化量dx的基础上，因变量y的相应的变化量。

lim ⊿y/⊿x 当x变化量趋于无限小的时候 这种变化率，称为导数f'(x)。即dy/dx。
导数f'(x)是自变量无限小变化时的函数相对于自变量的变化率。即 f'(x)=dy/dx。
自然 dy = f'(x) dx
因为f'(x)是自变量无限小变化dx的变化率，而dy也是在无限小自变量变化下才会等于无限小⊿x变化下的⊿y。

当dx给定非无限小的一个量比如⊿x的时候，自然所谓的算出的dy（其实是另一种[⊿y]，不是dy，因为dy是在dx无限小情况下的，也不是⊿y，因为这个[⊿y]是用f'(x)dx算出来的，而f'(x)这个变化率是⊿x无限小的变化率⊿y/⊿x）不可能是⊿y，这个所谓的dy只能是⊿y的线性主部。

导数，微分，不定积分，定积分
导数是求极限，f'(x)，当dx时候dy的变化率，即dy/dx

微分dy是在dx变化下的变化，因为f'(x)是自变量变化趋于零的极限变化率，所以dx可以理解为自变量的微分，dy理解为函数的微分，都是无限小的变化，只不过dy是依赖于dx的。但是一旦dx取定为非零值，那么dy就是函数y变化的线性主部。

不定积分
是求一个函数的原函数

定积分
是求值，从几何意义上理解，是求面积。

函数相对于自变量的瞬时变化率，即自变量变化趋于零的时候，这个极限，被定义为导数，引进符号f'(x)，来表示。
自变量的趋于零的变化，引进dx来表示，称为自变量微分。当自变量变化为dx的时候，引进dy来表示函数的变化，称为函数微分。
所以有了dy = f'(x)dx，这里f'(x)与dx是乘积的关系。

当知道一个函数F(x)的微分dF(x)或者导数f'(x)的时候，为了求得这个函数，引进了不定积分概念。
∫f'(x)dx 或者 fdF(x)
不定积分是为了求一个函数，原函数。

当知道一个函数，为了求这个函数在某个区间的，自变量的微分与函数值的乘积的累积和，引进的定积分概念。
定积分是为了求一个值。