Question

三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D是BC的中点，且AA1=AB

如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D是BC的中点，且AA1=AB.
（1）证明AD⊥BC1
（2）证明A1C∥平面AB1D

Answer 1

证明：（1）因为AA1⊥平面ABC，AA1//BB1
所以：BB1⊥平面ABC
又AD在平面ABC内，那么：BB1⊥AD
在底面正三角形中，点D是BC的中点
所以：AD⊥BC
这就是说AD垂直于平面BCC1B1内两条相交直线BB1、BC
所以由线面垂直的判定定理可得：
AD⊥平面BCC1B1
因为BC1在平面BCC1B1内，所以：AD⊥BC1
.
（2）连结A1B，交AB1于点O，连结OD
则易知：点O是A1B的中点
又点D是BC的中点，那么在△A1BC中，DO是边A1C的中位线
所以：DO//A1C
又DO在平面AB1D内，A1C不在平面AB1D内
所以由线面平行的判定定理可得：
A1C//平面AB1D