Question

谁帮我总结下高中数学中常用的数列求和裂项公式

Answer 1

裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例1] 【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝ 1-1/(n+1)
＝ n/(n+1)
[例2] 【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.
an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）
则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）
＝ (n-1)n(n+1)/3
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.
注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的.
2余下的项前后的正负性是相反的.
易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等,典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）
附：数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.(关键是找数列的通项结构)
1、分组法求数列的和：如an=2n+3n
2、错位相减法求和：如an=n·2^n
3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和：如an= n
5、求数列的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求
(1)当 a1>0,d

Answer 2

(1)已知a1,（an+1）-an=f(n)类型可以用累加法；
（2）已知a1,an+1/an=f(n)类型可以用累乘法
（3）构造法强调对式子结构变形分析，很难一语概括，
(4)裂项法，1/（n*(n+1)）=1/n-1/(n+1),1/(n*(n+k))=1/k(1/n-1/(n+1)),可以推广为{an}是等差数列，则1/(an*an+1)=1/d(1/an_1/an+1)
（5）错位相减法适应差比数列{an*bn},其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列。两边同乘以等比数列的公比q，错位后对位相减。

Answer 3