Question

设fx在[0,1]上有连续的二阶导数，且f(0)=0,f(1)=0.5,f(1/2)=0,

证明在(0,1)内至少有一点ξ，使f(ξ)≥2
错了，应该证明在(0,1)内至少有一点ξ，使f’’(ξ)≥2

Answer 1

设g(x)=f(x)-x²+x/2
g(0)=f(0)-0+0=0
g(1/2)=f(1/2)-1/4+1/4=0
g(1)=f(1)-1+1/2=0.5-1+1/2=0
因此g(x)在[0，1]内有三个零点，且g(x)显然是二阶可导的
由罗尔定理：存在η1∈(0，1/2)，η2∈(1/2，1)使：g'(η1)=0，g'(η2)=0
在[η1，η2]中对g'(x)再使用罗尔定理：存在ξ∈(η1，η2)，使得
g''(ξ)=0，
g''(x)=f ''(x)-2，因此：f ''(ξ)=2

应该是证等于吧？反正我是证明出等于了，你要的≥自然也是成立的。

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追问

当fx=x^2-(1/2)x时，你的方法和题设条件全满足，但是f’’(x)=2。可是题确实没有问题，是题的问题还是什么，还有什么别的解法吗？

追答

题没问题，我做的也没问题，是你理解错了。
我并没说f(x)=x²-(1/2)x，也没说f''(x)=2，我们最终证的是f''(ξ)=2，ξ只是某一个点，也就是说f''(x)在某一点的值为2，并不是恒为2.

追问

好的，我明白了，当f(x)=x²-(1/2)x时，f''(x)=2，而f(x)不为此函数时，则存在f’’(ξ)＞2，综上，则证明成立，我明白了，谢谢你！

Answer 2

确定题没错吗?怎么看都象个错题