Question

高一数学题·已知定义域为R的函数f(x)=-2x+a/2^x+1是奇函数

1. 求实数a的值
2. 用定义域证明f(x)在R上是减函数

Answer 1

是f(x)=(-2^x+a)/(2^x+1)吧？
1、定义域为R，则0属于定义域，则奇函数有f(0)=0，即：(-1+a)/2=0，得：a=1；
2、先化简，f(x)=(-2^x+1)/(2^x+1)=[-(2^x+1)+2]/(2^x+1)=-1+2/(2^x+1)
证：令x1<x2
f(x1)-f(x2)=-1+2/(2^x1+1)-[-1+2/(2^x2+1)]
=2/(2^x1+1)-2/(2^x2+1)
=[2(2^x2+1)-2(2^x1+1)]/(2^x1+1)(2^x2+1)
=2(2^x2-2^x1)/(2^x1+1)(2^x2+1)
因为x1<x2，所以：0<2^x1<2^x2
所以：2^x2-2^x1>0，2^x1+1>0，2^x2+1>0
所以：f(x1)-f(x2)>0
即x1<x2时，有f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在R上是减函数

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

第一问能不能用通式解答？就是设x和-x在证明f(x)=-f(-x)?老师说用f(0)=0时可能有增根

追答

只有一个根就不需要考虑的

f(x)=(-2^x+a)/(2^x+1)
f(-x)=(-2^-x+a)/(2^-x+1) 分子分母同乘2^x
=(-1+a*2^x)/(1+2^x)
f(-x)=-f(x)
即(-1+a*2^x)/(1+2^x)=-(-2^x+a)/(2^x+1)
-1+a*2^x=-a+2^x
所以：-1=-a，a=1

追问

是我的题抄错了么，原来的那样解不开么？

追答

你确定是-2x+a/(2^x+1)？
这样的话，就是a=0了，f(x)=-2x，下一题就没意思了。。。

追问

为什么当a=0时f(x)=-2x？

追答

你不是f(x)=-2x+a/(2^x+1)吗？
由f(0)=0
得：0+a/2=0
所以：a=0

估计你题目抄错了，这题我最近见过几次，是f(x)=(-2^x+a)/(2^x+1)

Answer 2

f(x)=[－2^x＋a]/[2^x＋1]
这个函数是定义域为R上的奇函数，则：f(0)=0
得：
a=1

此时有：
f(x)=[－2^x＋1]/[2^x＋1]=[(－2^x－1)＋2]/(2^x＋1)=－1＋[2/(2^x＋1)]
设：x1>x2，则：
f(x1)－f(x2)=2/[2^(x1)＋1]－2/[2^(x2)＋1]=[2^(x2)－2^(x1)]/{[2^(x1)＋1]×[2^(x2)＋1]}<0
即：f(x1)<f(x2)
所以函数f(x)是R上的减函数。

追问

第一问能不能用通式解答？就是设x和-x在证明f(x)=-f(-x)?老师说用f(0)=0时可能有增根

追答

可以的。
f(－x)=－f(x)
[－2^(－x)＋a]/[2^(－x)＋1]=－[－2^x＋a]/[2^x＋1]
[－1＋a×2^x]/[1＋2^x]=[2^x－a]/[2^x＋1]
－1＋a×2^x=2^x－a
(a－1)×2^x=1－a
这个式子要对一切实数x都成立，则：a－1=1－a=0，得：a=1

追问

是我的题抄错了么，原来的那样解不开么？

追答

你的函数解析式抄错了。