如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(M,M),点B的坐标为(N,-N),抛物线经过A,O,B三点,连接
解答：解（1）解方程x2-2x-3=0，
得 x1=3，x2=-1．
∵m＜n，
∴m=-1，n=3…（1分）
∴A（-1，-1），B（3，-3）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴-1=a-b-3=9a+3b
解得：a=-12b=12，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+12x．…（4分）
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴-1=-k+b-3=3k+b.
解得：k=-12b=-32，
∴直线AB的解析式为y=-12x-32．
∴C点坐标为（0，-32）．…（6分）
∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），
∴直线OB的解析式为y=-x．
∵△OPC为等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，-x），
（i）当OC=OP时，x2+(-x)2=94．
解得x1=324，x2=-324（舍去）．
∴P1（324，-324）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P2（34，-34）．
（iii）当OC=PC时，由x2+(-x+32)2=94，
解得x1=32，x2=0（舍去）．
∴P3（32，-32）．
∴P点坐标为P1（324，-324）或P2（34，-34）或P3（32，-32）．…（9分）
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
设Q（x，-x），D（x，-12x2+12x）．
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=12DQ•OG+12DQ•GH，
=12DQ（OG+GH），
=12[x+(-12x2+12x)]×3，
=-34(x-32)2+2716，
∵0＜x＜3，
∴当x=32时，S取得最大值为2716，此时D（32，-38）．…（13分）
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知识，求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出．
参考资料： http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/15c130ad-58ae-4d97-b554-d5a26cc29dfd
得 x1=3，x2=-1．
∵m＜n，
∴m=-1，n=3…（1分）
∴A（-1，-1），B（3，-3）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴
-1=a-b-3=9a+3b
解得：
a=-12b=12
，
∴抛物线的解析式为y=-
1
2
x2+
1
2
x．…（4分）
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴
-1=-k+b-3=3k+b.
解得：
k=-12b=-32
，
∴直线AB的解析式为y=-
1
2
x-
3
2
．
∴C点坐标为（0，-
3
2
）．…（6分）
∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），
∴直线OB的解析式为y=-x．
∵△OPC为等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，-x），
（i）当OC=OP时，x2+(-x)2=
9
4
．
解得x1=
32
4
，x2=-
32
4
（舍去）．
∴P1（
32
4
，-
32
4
）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P2（
3
4
，-
3
4
）．
（iii）当OC=PC时，由x2+(-x+
3
2
)2=
9
4
，
解得x1=
3
2
，x2=0（舍去）．
∴P3（
3
2
，-
3
2
）．
∴P点坐标为P1（
32
4
，-
32
4
）或P2（
3
4
，-
3
4
）或P3（
3
2
，-
3
2
）．…（9分）
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
设Q（x，-x），D（x，-
1
2
x2+
1
2
x）．
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=
1
2
DQ•OG+
1
2
DQ•GH，
=
1
2
DQ（OG+GH），
=
1
2
[x+(-
1
2
x2+
1
2
x)]×3，
=-
3
4
(x-
3
2
)2+
27
16
，
∵0＜x＜3，
∴当x=
3
2
时，S取得最大值为
27
16
，此时D（
3
2
，-
3
8 ）．…（13分）
得 x1=3，x2=﹣1．
∵m＜n，
∴m=﹣1，n=3…（1分）
∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．…（4分）
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴
解得： ，
∴直线AB的解析式为 ．
∴C点坐标为（0， ）．…（6分）
∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），
∴直线OB的解析式为y=﹣x．
∵△OPC为等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，﹣x），
（i）当OC=OP时， ．
解得 ， （舍去）．
∴P1（ ， ）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P2（ ，﹣ ）．
（iii）当OC=PC时，由 ，
解得 ，x2=0（舍去）．
∴P3（ ，﹣ ）．
∴P点坐标为P1（ ， ）或P2（ ，﹣ ）或P3（ ，﹣ ）．…（9分）
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
设Q（x，﹣x），D（x， ）．
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ= DQ•OG+ DQ•GH，
= DQ（OG+GH），
= ，
= ，
∵0＜x＜3，
∴当 时，S取得最大值为 ，此时D（ ，﹣ ）．…（13分）
已赞过
已踩过<
∵△OPC为等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，-x），
（i）当OC=OP时，x2+(-x)2=
94．
解得x1=
3
24，x2=-
3
24（舍去）．
∴P1（3
24，-
3
24）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P2（34，-34）．
（iii）当OC=PC时，由x2+(-x+
32)2=
94，
解得x1=
32，x2=0（舍去）．
