Question

求微分方程y"-5y'+6y=-2xe^2x的通解。 需要完整过程，望高手解答，谢谢

Answer 1

求微分方程y"-5y'+6y=-2xe^(2x) 的通解
解：齐次方程 y''-5y'+6y=0的特征方程 r²-5r+6=(r-2)(r-3)=0的根：r₁=2，r₂=3；
故其次方程的通解为；y=C₁e^(2x)+C₂e^(3x);
设其特解为：y*=(ax²+bx)e^(2x);
则y*'=(2ax+b)e^(2x)+2(ax²+bx)e^(2x)=[2ax²+2(a+b)x+b]e^(2x);
y*''=(4ax+2a+2b)e^(2x)+2[2ax²+2(a+b)x+b]e^(2x)=[4ax²+(8a+4b)x+2a+4b]e^(2x);
代入原式得：
{[4ax²+(8a+4b)x+2a+4b]-5[2ax²+2(a+b)x+b]+6(ax²+bx)}e^(2x)=-2xe^(2x)
整理化简得：-2ax+2a-b=-2x ∴a=1.........①；2a-b=2-b=0........②
由①②联立解得：a=1，b=2；故y*=(x²+2x)e^(2x)
∴原方程的通解为：y=C₁e^(2x)+C₂e^(3x)+(x²+2x)e^(2x);

Answer 2

特征方程为入²－5入＋6＝0
特征值为入＝2或3