Question

高中数学圆锥曲线

高中数学圆锥曲线第十题为什么选C 过程

Answer 1

圆心为C(1, 4), M在直线x = 5上, 根据对称性, 符合条件的区间与y = 4(过圆心的x = 5的垂线)对称。[-2, 6]和[-3, 5]的中点都不是4, 可以排除，只考虑C, D即可。

显然M离y = 4越远时, ∠AMB约小。极端情况是MA和MB均为切线，那么四边形OAMB为正方形。
OM的中点为P(3, (t + 4)/2), 斜率为k = (t - 4)/(5 - 1) = (t - 4)/4
AB⊥OM, AB的斜率k' = -1/k = -4/(t - 4)
AB的方程为: y - (t + 4)/2 = [-4/(t - 4)](x - 3)
即y = -4x/(t - 4) + 12/(t - 4) + (t + 4)/2
P也是AB的中点, 取Δ>0,
不妨令A(3 - Δ, a), a = -4(3 - Δ)/(t - 4) + 12/(t - 4) + (t + 4)/2,
B(3 + Δ, b), b = -4(3 + Δ)/(t - 4) + 12/(t - 4) + (t + 4)/2
容易看出, O,M的纵坐标之差 = A,B的横坐标之差, 即[ -4(3 - Δ)/(t - 4) + 12/(t - 4) + (t + 4)/2] - [-4(3 + Δ)/(t - 4) + 12/(t - 4) + (t + 4)/2] = 4
整理得Δ = (t - 4)/2
于是B的横坐标3 + Δ = 3 + (t - 4)/2 = (t + 2)/2
纵坐标 = -4[(t + 2)/2]/(t - 4) + 12/(t - 4) + (t + 4)/2 = t/2
B((t+2)/2, t/2)
B在圆上: [(t + 2)/2 - 1] + (t/2 - 4)² = 10
整理得t² - 8t + 12 = (x - 2)(t - 6) = 0
t = 2或6, 答案C