Question

如图，在三角形ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线

a于点n，BM⊥直线a于点n连接PM、PN，延长mp交cn于点e。（1）求证三角形全等三角形cpe，，(2)求证pm=pn

Answer 1

(1) 证明：j 如图2，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，

k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM=1/2 ME，∴在Rt△MNE中，PN=1/2 ME，

∴PM=PN；

(2) 成立，如图3，

证明 延长MP与NC的延长线相交于点E，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，

∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴ÐBMN ÐCNM=180°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

又∵P为BC中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，∴PM=PE，

∴PM=1/2 ME，则在Rt△MNE中，PN=1/2 ME，∴PM=PN。

(3) 四边形MBCN是矩形，PM=PN成立。

Answer 2

(1)
∵BM⊥直线a，CN⊥直线a
∴BM∥CN
∴∠MBP=∠NCP
又∵∠MPB=∠CPE，BP=PC
∴ΔBPM≌ΔCPE
(2)
由（1）可知MP=PE
在直角ΔMNE中，P为斜边ME的中点，所以PM=PN(以P为圆心，以ME为直径做圆，因为∠MNE为直角，所以N在圆周上，所以PM和PN都为圆半径）