Question

如图,在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E

1、AB与AC相等吗？为什么？
2、连接BC，若两圆的半径分别为3和5，试判断BC与与小圆的位置关系，并说明理由
3、当大圆半径R与小圆半径r满足怎样的条件时，线段BC与小圆相切

Answer 1

解：1），AB=AC，连接OD，OE，因为OD,OE是小圆的半径，所以OD=OE，由于AB,CD切小圆与D，E，所以OD⊥AB，OE⊥AC，即大圆的弦AB,AC的弦心距相等，所以AB=AC.。 2），过O做BC的垂线OF，交BC于F，连结OB，则在Rt△OBF中OB＞OF，即OF＜5，若OF=3，则BC与小圆相切：若OF＞3则BC与小圆相离。 3），显然：三边都与小圆相切的三角形是等边三角形，所以当r=Rcos60°=1/2R时，BC与小圆相切。

Answer 2

第一个问题：AB＝AC。
［证明］
∵AB、AC分别切中圆O于D、E，∴OD＝OE。
∵AB、AC是大圆O的两弦，∴AB＝AC（同圆中，弦心距相等的弦长也相等）。

第二个问题：BC与小圆O相交。
［证明］
取BC的中点为F。
∵AD切小圆O于D，∴AD⊥DO，
∴由勾股定理，有：AD＝√（AO^2－OD^2）＝√（25－9）＝4。
∵OD⊥AB，∴AB＝2AD＝8。
∵AB＝AC、BF＝CF，∴AF⊥BF。
由∠OAD＝∠BAF、∠ADO＝∠AFB，得：△AOD∽△ABF，∴AD/AO＝AF/AB，
∴4/5＝AF/8，∴AF＝32/5。

∵AB＝AC、BF＝CF，∴∠BAF＝∠CAF。
∵AB、AC分别切小圆O于D、E，∴∠BAO＝∠CAO。
由∠BAF＝∠CAF、∠BAO＝∠CAO，得：A、O、F都在∠BAC的平分线上，
∴OF＝AF－AO＝32/5－5＝7/5＜3，∴点F在小圆O内，∴BC与小圆O相交。

第三个问题：
当BC与小圆O相切时，有：AB＝AC＝BC，∴O是△ABC的内心，也是它的重心，
∴OA＝2OF，∴R＝2r。
∴当大圆半径是小圆半径的二倍时，BC与小圆相切。

Answer 3

1）AB与AC相等：
先连接OA、OD、OE
∵OD⊥AB；OE⊥AC
又OD=OE；OA为公共边
∴△AOD≌△AOE
∴AD=AE
再连接OB、OC，
∵OB=OC；OD=OE，∠ODB=∠OEC并为直角
∴△ODB≌△OEC
∴DB=EC
∴AD+DB=AE+EC
即：AB=AC
2）连接OA、OD、OE、OB、OC
∵OD⊥AB；OE⊥AC
∴根据勾股定理：AD=AE=BD=CE=4
∴AB=AC=8
连接OA并延长AO交BC于M
两圆半径和=8
∴AM>AB
∴BC与与小圆相加
3）R=2r，假设直线BC与小圆相切，切点为Q；
由（1）作辅助可得AB=AC=BC；
则，△ABC为等边三角形；
连接OQ可得OQ⊥BC；
连接BO可得∠ABO=∠CBO
又∠ABC=60°
∴∠CBO=30°
又△OBC为直角三角形
∴OB=2OQ（注意：OB=R；OQ=r）
故：R=2r，直线BC与小圆相切