Question

设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,

试证明（a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)-f(c)=0。详细一点点哈

Answer 1

设g(x)=f(x)/(e^x),则g(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件.g′(x)=[f′(x)-f(x)]/e^x
所以（a,b)内至少存在一点c,使得g′(c)=0,即有f'(c)-f(c)=0。

追问

开头有点儿没看懂。。。

追答

g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，g(a)=g(b)=0,所以满足罗尔定理。
故（a,b)内至少存在一点c,使得g′(c)=0，而g′(x)=[e^xf′(x)-e^xf(x)]/(e^x)^2=f′(x)-f(x)]/e^x
g′(c)=[f′(c)-f(c)]/e^c, g′(c)=0,f′(c)-f(c)=0,f′(c)=f(c)