Question

求函数最值问题

Answer 1

• f(x)=x-1-alnx 定义域x>0

1. f'(x)=1-a/x

   a>0时，存在驻点x=a

   f''(x)=a/x²>0 驻点x=a为极小值点

   当极小值f(a)=a-1-alna≥0时 f(x)≥0 恒成立

   令g(a)=a-1-alna

   g'(a)=1-lna-1=-lna→驻点a=1 为极大值点 极大值g(1)=0

   ∴当且仅当a=1时f(x)≥0 恒成立

2. n=3→(1+½)(1+½²)(1+½³)=2.109375>2    

   ∵ⁿ√(1+½)(1+½²)...(1+½ⁿ)<(1+½+1+½²+...+1+½ⁿ)/n=(n+1-½ⁿ)/n
   

   ∴(1+½)(1+½²)...(1+½ⁿ)<[(n+1-½ⁿ)/n]ⁿ<[1+1/n]ⁿ

   令f(n)=[1+1/n]ⁿ

   f'(n)=n[1+1/n]^(n-1)>0 f(n)单调递增

   ∴f(n)<lim(n→+∞)[1+1/n]ⁿ=e

   m的最小值=3