Question

求一下这个高数题的具体过程

Answer 1

当x->0时，x^n->0，|sin(1/x)|<=1，
根据无穷小量和有界量的乘积仍是无穷小量，得x^n*sin(1/x)->0=f(0)
即对任意正整数n，f(x)在x=0处连续
f'(0)=lim(x->0) [f(x)-f(0)]/x

=lim(x->0) [x^n*sin(1/x)-0]/x
=lim(x->0) x^(n-1)*sin(1/x)
当n=1时，f'(0)=lim(x->0) sin(1/x)不存在，即f(x)在x=0处不可导
当n>=2时，x^(n-1)是无穷小量，sin(1/x)是有界量，所以f'(0)=0，即f(x)在x=0处可导