Question

f(x)=1/3x³+ax²+bx, 其中a，b∈R， 已知f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，求证：0<a+b<2

Answer 1

证明：对函数求导可得，f′（x）=x²+2ax+b，
因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，即x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．
∴f′(1)=1+2a+b＞0，(1)
f′(2)=4+4a+b＞0， (2)
1＜-a＜2，(3)
△=4(a²-b)＞0. (4)
由 （1）+（3）得a+b＞0，由（4）得a+b＜a²+a，
∴-2＜a＜-1，又a²+a=(a+1/2)²-1/4＜2，
∴a+b＜2．
故a+b的取值范围是（0，2）

望采纳，若不懂，请追问。

追问

f′(1)和f′(2)为什么会＞0，还有1＜-a＜2是怎么的出来的？我脑子笨，对导数这一方面不是不很懂。。。求详解

追答

这个其实不算是全考导数，考二次函数图像的性质还多些，因为想要导函数是开口向上的二次函数，且开口向上，所以要满足这几个条件，式子（1）、（2）意思是在x=1,2时导函数的值在x轴的上方，式子（3）指的是对称轴要在区间（1，2）之间，式子（4）指的是其图像要与x轴有两个交点，你画画图，只要具备了这几个条件，那么就可以确定f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点了。 别认为自己笨，数学需要扎实的基础，再加上明确的思路和方法，而这一切都需要自己多记多总结，在巩固一下就会慢慢变好的。。加油哦！

Answer 2

f'(x)=x²＋2ax＋b
函数f(x)在(1，2)内存在两个极值点，则f'(x)在(1，2)内存在两个零点，则：
(1)f'(x)的判别式=4a²－4b>0，即：a²>b
(2)1<－a<2
(3)f'(0)=b>0
(4)f'(2)=4＋4a＋b>0
由上述四个不等式组成可行域，在这个可行域内，目标函数是Z=a＋b
则：当a=－1、b=1时，Z取得最小值是Z=0
当a=－2、b=4时，Z取得最大值Z=2
则：0<a＋b<2

Answer 3

f'(x)=x^2+2ax+b.
因为f(x)在(1,2)内有两个极值点.
令f'(x)=0.即x^2+2ax+b=0.
方程x^2+2ax+b=0在（1，2）内有两不等根，
这等价于
1<-2a/(2*1)<2,
方程判别式大于0，
且f(1)>0,f(2)>0,
解以上不等组
得-2<a<-1,
b<a^2
,b>-2a-1,
画出可行域，目标函数为b=-a+k

所以0<k<2
即0<a+b<2

Answer 4

f(x)=1/3x³+ax²+bx求导
f‘(x)=x²+2ax+b
f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点
.令f'(x)=0.即x^2+2ax+b=0
1+1<两根和<2+2,1×1<两根积<2×2
.就是2<-2a<4,1<b<4.故0<a+b<2.