Question

计算lim(r->0)[1/∏r²]∫∫e^(x²-y²)cos(x+y)dxdy,其中D为x²+y²≤r²

Answer 1

lim(r->0)[1/πr²]∫∫e^(x²-y²)cos(x+y)dxdy,其中D为x²+y²≤r²
由积分中值定理，在D内存在点(a,b)，使：
∫∫e^(x²-y²)cos(x+y)dxdy=πr²e^(a²-b²)cos(a+b)
所以：lim(r->0)[1/πr²]∫∫e^(x²-y²)cos(x+y)dxdy
=lim(r->0)[1/πr²]πr²e^(a²-b²)cos(a+b)
=lim(r->0)e^(a²-b²)cos(a+b)
=1

Answer 2

由积分中值定理，有
（a,b）∈D,使得
lim(r->0)[1/∏r²]∫∫e^(x²-y²)cos(x+y)dxdy

=lim(r->0)[1/πr²]*πr²*e^(a²-b²)cos(a+b)
=lim(r->0)e^(a²-b²)cos(a+b)
=e^0*cos0
=1
因为r->0，得
a->0,b->0
即
a²-b²->0
a+b->0

Answer 3

由积分中值定理，有
（a,b）∈D,使得
lim(r->0)[1/∏r²]∫∫e^(x²-y²)cos(x+y)dxdy

=lim(r->0)[1/πr²]*πr²*e^(a²-b²)cos(a+b)
=lim(r->0)e^(a²-b²)cos(a+b)
=e^0*cos0
=1
因为r->0，得
a->0,b->0
即
a²-b²->0
a+b->0lim(r->0)[1/πr²]∫∫e^(x²-y²)cos(x+y)dxdy,其中D为x²+y²≤r²
由积分中值定理，在D内存在点(a,b)，使：
∫∫e^(x²-y²)cos(x+y)dxdy=πr²e^(a²-b²)cos(a+b)
所以：lim(r->0)[1/πr²]∫∫e^(x²-y²)cos(x+y)dxdy
=lim(r->0)[1/πr²]πr²e^(a²-b²)cos(a+b)
=lim(r->0)e^(a²-b²)cos(a+b)
=1