Question

神奇的莫比乌斯带究竟是怎么回事？

Answer 1

“莫比乌斯带”（板书），为什么呀？是19世纪的几何学家莫比乌斯发现的。很久以前有一个叫莫比乌斯的人，在一个阳光美好的午后，静静的坐在桌前，手中拿着一个长长的纸条，不经意的把纸条拧了一个圈又把两个头对接了起来。也巧，这时正好有一只小蚂蚁到他的桌面上旅游，他微笑着对小蚂说：小朋友,到我这个新建筑上来看看吧。于是小心翼翼地把小蚂蚁请到了手中的纸上，小蚂蚁也许是感到新鲜而又陌生，也就不停的到处游荡，莫比乌斯轻轻的注视着纸上的小蚂蚁，你们猜，他发现了什么？（小蚂蚁虽没翻越任任何一处的纸边沿，却爬过了纸表面的每一个地方。）这让莫比乌斯非常惊讶，这个本来是两个面的纸条经他刚才的一接怎么变成只有一个面了呢？一个伟大的数学发现就这样在不经意间产生了，并且以发现者莫比乌斯的名字命名。所以同学们平时在学好书本知识的同时，要留心观察生活，更多伟大的发明、发现还等着用你们的名字命名呢！

6、关于“莫比乌斯带”还有一个很有趣的故事。据说有一个小偷偷了一位很老实农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官由他去办理。执事官不想误判此案，但是又不敢得罪县官，你们猜他怎么做？做成“莫比乌斯带”状能改变结果吗？（生猜）现在你们桌上都有县官的这张判决书，请帮执事官想想办法。（生二人小组合作动手操作请个别小组上台演示），聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。

7、下面再给大家介绍一个关于“莫比乌斯带”的小游戏。宋朝诗人秦少游曾写过一首回形诗：“赏花归去马如飞，去马如飞酒力微，酒力微醒时已暮，醒时已暮赏花归。” （课件显示诗歌）首尾相衔，循环成趣。如果在纸条正面写上“赏花归去马如飞”，再把纸条翻转过来，在背面等距地写上“酒力微醒时已暮”。然后把纸条做成“莫比乌斯带”状，会有什么新发现呢？（顺着这个圈，你就可以反复无穷地读出秦少游的这首诗。）
①艾舍尔《红蚁》：让我们一起来看看蚂蚁在这个“莫比乌斯带”上的运动轨迹吧，由一生上台演示。

②北京小区科技园“莫比乌斯圈”状阶梯：小朋友在上面玩会发现什么？

③瑞典《不可能的图形》邮票：瑞典1982年发行的一枚邮票，图案是一个古里古怪的图形，如果你用指尖沿着这个古怪的图形上任何一个面顺着一个方向划下去，结果会发现这是一个在现实中不可能造出来的东西。但如果你就这样一直顺着划下去，又会回到原来的出发点，似乎这个物体又不荒谬。其实这是一个立体化的“莫比乌斯圈”。发行这枚“不可能的图形”邮票，意在引导人们关注科学，探索宇宙不解之谜。

④ 中国科技馆“三叶扭结”：这是中国科技馆的展品，叫“三叶扭结”。它实际上是由“莫比乌斯带”演变而成的，这蓝白相间的灯不停地闪烁，乍看是个漂亮的灯饰，但细瞧，它的特点是什么呀？（只有一面一边）它表示着科学没有国界，各种科学之间没有边界，科学是相互连通的，科学和艺术也是相互连通的意义呢！

“莫比乌斯带”听起来确实挺神奇的，但许多事情，都或多或少如此，没有清晰的界限，就如成败，看似截然相反的二个方面，一组反义词。但其实不过是一步之遥。只要你努力，失败的教训会成为成功的基石；如果你骄奢，胜利会转瞬即逝，失败接踵而来。呵呵，原来小小的纸圈上还藏着做人的大道理呢！

Answer 2

神奇的莫比乌斯带是什么？

Answer 3

从中间剪开一个莫比乌斯带，不会得到两个窄的带子，而会形成一个把纸带的端头扭转了两次再结合的环（并不是莫比乌斯带），而把旋转了360°的环从中间剪开，则变成两个扣在一起的莫比乌斯带。

Answer 4

公元
1858
年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）发现：把一
个扭转
180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。
因为，普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只
小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！
我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯带”。
　　拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，如同
上页图那样粘成一个莫比乌斯带。现在像图中那样用剪刀沿纸带的中央把它
剪开。你就会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而像图中那样剪出一
个两倍长的纸圈！
　　有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起！为了让读者直观地看到这一不太
容易想象出来的事实，我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真
的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别
包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。
　　莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决！
　　比如在普通空间无法实现的“手套易位问题：人左右两手的手套虽然极
为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上
去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手
套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若自你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。
在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称
部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。
“扁平的猫”，规定这只猫只能在纸面上紧贴着纸行走。
现在这只猫的头朝右。读者不难想象，只要这只猫紧贴着纸面，那么无论它
怎么走动，它的头只能朝右。所以我们可以把这只猫称为“右侧扁平猫”。
“右侧扁平猫”之所以头始终朝右，是因为它不能离开纸面。
现在让我们再看一看，在单侧的莫比乌斯带上，扁平猫的遭遇究竟如何呢？右图画了一只“左侧扁平猫”，它紧贴着莫比乌斯带，走呀走，走呀走，
最后竟走成一只“右侧扁平猫”！
　　扁平猫的故事告诉我们：堵塞在一个扭曲了的面上，左、右手系的物体
是可以通过扭曲时实现转换的！让我们展开想象的翅膀，设想我们的空间在
宇宙的某个边缘，呈现出莫比乌斯带式的弯曲。那么，有朝一日，我们的星
际宇航员会带着左胸腔的心脏出发，却带着右胸腔的心脏返回地球呢！
莫比乌斯带具有一条非常明显的边界。这似乎是一种美中不足。公元
1882
年，另一位德国数学家克莱
茵（Klein，1849～1925），终于找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型，
称为“克莱茵瓶”。这种怪瓶实际上可以看作是由一对莫比乌斯带，
沿边界粘合而成。因而克莱茵瓶比莫比乌斯带更具一般性。