Question

已知向量组a1a2a3线性无关,向量组a1a2a3a4线性相关，向量组a1a2a3a4的秩为4，证明a1a2a3a5-a4线性无关？

Answer 1

题目不对, 向量组a1a2a3a5的秩为4 才行

因为 向量组a1a2a3线性无关,向量组a1a2a3a4线性相关
所以 a4 可由 a1a2a3 线性表示
又因为 向量组a1a2a3a5的秩为4
所以 a5 不能由 a1a2a3 线性表示
所以 a5-a4 不能由 a1a2a3 线性表示
所以 a1a2a3a5-a4 线性无关

Answer 2

I suppose: "向量组a1a2a3a5的秩为4"
instead of: "向量组a1a2a3a4的秩为4"

向量组a1a2a3a5的秩为4 => a1,a2,a3,a5线性无关

a1a2a3a4线性相关
=> a4=m1a1+m2a2+m3a3

k1a1+k2a2+k3a3+k4(a5-a4)=0
k1a1+k2a2+k3a3+ k4a5 - k4(m1a1+m2a2+m3a3)=0
(k1-k4m1)a1+ (k2-k4m2)a2+(k3-k4m3)a3+ k4a5=0
=>
(k1-k4m1)=0 (1) and
(k2-k4m2)=0 (2) and
(k3-k4m3)=0 (3) and
k4=0 (4)
then k3=k2=k1=0
ie
a1,a2,a3,a5-a4线性无关