Question

大一高数求解答！！谢谢 证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,......,则数列{Xn}收敛，并求其极限

证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,......,则数列{Xn}收敛，并求其极限。（提示：利用a^2+b^2≥2ab 证明 [Xn]单调有界）

Answer 1

Xn+1=1/2(Xn+2/Xn)≥√2,n∈N

Xn+1-Xn=1/2(2/Xn-Xn)，Xn≥√2，n＞1，单调递减

∴Xn+1-Xn≤1/2(2/√2-√2)=0，n＞1，

∴数列{Xn}单调递减有下界
∴数列{Xn}收敛。

limXn+1=lim1/2(Xn+2/Xn)

设limXn=A
则，A=1/2(A+2/A)
∴A=√2

Answer 2

Xn+1=1/2(Xn+2/Xn)≥1/2*2√2=√2
Xn+1/Xn=1/2(1+2/Xn²)≤ 1
所以{Xn}单调递减
又X1=a，所以{Xn}有界
所以收敛
设极限为x
则x=1/2(x+2/x)
x=√2