Question

几道定积分题目,求大家帮忙看一下

Answer 1

2、积分后是数值，也就是常函数，导数为0；选B。
3、dy/dt＝－sin(t^2)*2t，dx/dt＝sin(t^2)，dy/dx＝－2t，选D。
4、分成从－3到1和从1到3的两段积分，在－3到1上1－x>0，在1到3上x－1>0，选C。
5、选C。原函数是0.5arctan(x/2)，代入积分上下限，利用当x趋于正无穷时，
lim arctan(x/2)＝pi/2，得广义积分收敛。
6、注意到dx/(2－x)^2＝d(1/(2－x))然后利用分部积分得原积分
＝积分(从0到1)ln(1+x)d(1/(2－x))
＝ln(1+x)/(2－x)|上限1下限0－积分(从0到1)dx/[(1+x)(2－x)]
＝ln2－1/3*积分(从0到1)【1/(1+x)+1/(2－x)】dx
＝ln2－1/3*【ln(1+x)－ln(2－x)】|上限1下限0
＝1/3*ln2。
7、分部积分，原积分＝积分(从1到2)(lnx)^2d(x^2/2)
＝x^2*(lnx)^2/2|上限2下限1－积分(从1到2)xlnxdx
＝2(ln2)^2－积分(从1到2)lnxd(x^2/2)
＝2(ln2)^2－x^2*lnx/2|上限2下限1+积分(从1到2)x/2dx
＝2(ln2)^2－2ln2+3/4。
8、分部积分：原积分＝xlnx|上限e下限1－积分(从1到e)1dx
＝e－(e－1)
＝1。
9、将积分写为从－a到0和从0到a两部分，从－a到0的部分做变量替换x＝－t即可。
原积分＝积分(从－a到0)f(x)dx+积分(从0到a)f(x)dx
＝－积分(从a到0)f(－t)dt+积分(从0到a)f(x)dx
＝积分(从0到a)[f(－x)+f(x)]dx。
10、将积分写为从－pi/4到0和从0到pi/4两部分，第一部分做变量替换x＝－t，
两部分积分区间一样，被积函数相加得为cosx。
原积分＝积分(从－pi/4到0)cosx/(1+e^(－x))dx+积分(从0到pi/4)cosx/(1+e^(－x))dx
＝积分(从0到pi/4)cosx/(1+e^x)dx+积分(从0到pi/4)e^xcosx/(1+e^x)dx
＝积分(从0到pi/4)cosxdx
=sinx|上限pi/4下限0
＝根号(2)/2。