Question

高等数学关于偏导数性质的一道选择题

高等数学关于偏导数性质的一道选择题第一题abc我知道都错，但是d为什么对，求详解

Answer 1

要想解释选项D，首先你得明白选项A为什么错，我们在一元函数里面讲到“可导一定连续，连续不一定可导”，实际上多元函数的偏导数是可以当成一元函数问题来看待的。选项A这种点趋近的极限要想存在，就必须保证各种趋近路径下的极限都存在而且相等，也就是说像什么y=2x或者y=-x或者y=x^2或者别的什么乱七八糟的趋近方式下，极限必须都存在而且相等，选项A才能成立。而f'x(0,0)就相当于是一元函数f(x,0)在x=0处的导数，既然f'x(0,0)存在，那么一元函数f(x,0)在x=0处可导，那么一元函数f(x,0)在x=0处一定连续，所以选项D中的极限是存在的。然后既然偏导数存在，那么f(x,y)在（0,0）处肯定是有定义的，所以选项D的两个极限都等于f（0,0）。
注意偏导数就相当于是一个一元函数的概念了，要把以前一元函数的结论用起来。

Answer 2

如图