已知四边abcd是边长为4的正方形，以ab为直径在正方形内作半圆
（1）如图①，当PA的长度等于2
2
时，∠PAD=60°；当PA的长度等于2 2
或8 5
5
2 2
或8 5
5
时，△PAD是等腰三角形；
（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形．专题：几何综合题；数形结合；方程思想．分析：（1）由AB是直径，可得∠APB=90°，然后利用三角函数即可求得PA的长；当PA=PB时，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．
（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4-a，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．解答：解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
则PA=2，
∴当PA的长度等于2时，∠PAD=60°；
若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，
此时P位于四边形ABCD的中心，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是正方形，
∴PM=PE=1 2 AB=2，
∵PM2=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2 2 ，
当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，
则△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）2+x2=4，
∴x=2 5 5
∴AG=2x=4 5 5 ，
∴AP=8 5 5
∴当PA的长度等于2 2 或8 5 5 时，△PAD是等腰三角形；
（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，
则PG⊥BC，
∵P点坐标为（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4-a，
在△PAD，△PAB及△PBC中，
S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴PE2=AE•BE，
即b2=a（4-a），
∴2S1S3-S22=4a（8-2a）-4b2=-4a2+16a=-4（a-2）2+16，
∴当a=2时，b=2，2S1S3-S22有最大值16．点评：此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．
解答：解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴PB=2，
则PA=2 ，
∴当PA的长度等于2 时，∠PAD=60°；
若△PAD是等腰三角形，则只能是PA=PD，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是矩形，
∴PM=PE= AB=2，
∵PM2=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2 ，
同理可得P在P′时，PA=PB，
此时：PA= ；
∴当PA的长度等于2 或 时，△PAD是等腰三角形；
（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，
则PG⊥BC，
∵P点坐标为（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，
在△PAD，△PAB及△PBC中，
S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴PE2=AE•BE，
即b2=a（4﹣a），
∴2S1S3﹣S22=4a（8﹣2a）﹣4b2=﹣4b2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，
∴当a=2时，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16．
