Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，

交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

Answer 1

因为已知CE平分∠BCA，所以∠BCE=∠ECA，因为MN//BC，所以∠BCE=∠CEO，所以∠CEO=∠ECA，所以EO=CO，因为CF平分∠OCI，所以∠OCF=∠FCI，因为MN//BC，所以∠OFC=∠FCI，所以∠OFC=∠OCF，所以CO=FO，所以EO=FO
2当点O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形
因为由上题以证明EO=FO，若o运动到AC中点 则AO=CO，则AC、EF互相平分，则四边形AECF为平行四边形，因为已知CF平分∠OCI，CE平分∠BCA，所以∠BCE=∠ECO，∠OCF=∠FCI，所以∠ECO+∠OCF=∠BCE+∠FCI，因为∠BCI=180°，所以∠ECO+∠OCF=90°，所以平行四边形AECF为矩形

Answer 2

当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
∵CE平分∠BCA
∴∠BCE=∠ACE
∵CF平分∠BCA的外角
∴∠ACF=∠FCH
∵MN∥BC
∴∠BCE=∠OEC，∠FCH=∠OCF
则∠OEC=∠ACE，∠ACF=∠OCF
∴OE=OC,OF=OC
即OE=OF
∵O是AC中点
∴四边形AECF是平行四边形
∵∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCH=180°
∴∠ACE+∠ACF=90°
即∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形