Question

如图，在△ABC中，∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=90°-1/2 ∠BDC． 求证：AB=AC

Answer 1

∵∠ABD＝∠ACD＝60°，∴A、B、C、D共圆，∴∠ACB＝∠ADB、∠BDC＝∠BAC，
又∠ADB＝90°－（1/2）∠BDC，∴∠ACB＝90°－（1/2）∠BAC，
∴2∠ACB＝180°－∠BAC，∴2∠ACB＋∠BAC＝180°。
由三角形内角和定理，有：∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC。

追问

初三还没有学到共圆 有其他方法吗

追答

过A作AE⊥BD交BD于E，再作AF⊥CD交CD的延长线于F。
∵∠ADB＝90°－（1/2）∠BDC，∴2∠ADB＝180°－∠BDC，∴2∠ADB＋∠BDC＝180°，
显然有：∠ADF＋∠ADB＋∠BDC＝180°，∴∠ADF＝∠ADE，而AE⊥DE、AF⊥DF，
∴由角平分线性质，有：AE＝AF，又∠ABE＝∠ACF＝60°、∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴△ABE≌△ACF，∴AB＝AC。