Question

求此极限的推导

这个极限是怎么推导出来的？求推导过程！谢谢！！！！

Answer 1

《高数》上册第一章第六节

关于《极限存在准则》里面有说到怎么证明

那里是证明：lim(x→0) sinx/x=1

只不过把x换成1/n，x→0换成1/n→∞

也就是：lim(n→∞) [sin(1/n)/(1/n)]=1

 

下面是证明：lim(x→0) sinx/x=1

 

 

先画个单位圆,并把正弦线,正切线都画出来,

设圆心角∠AOB=x(0<x<π/2)，点A处的切线与OB的延长线相交于D，又BC⊥OA

则：sinx=CB，x=弧AB，tanx=AD

 

根据面积大小

有：△AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积

则：(1/2)sinx<(1/2)x<(1/2)tanx

即：sinx<x<tanx 

不等号各边都除以sinx,有：1<x/sinx<(1/cosx)

从而：cosx<sinx/x<1

因为：当x用-x代替时,cos与sinx都不变号,所以上面的不等式对于开区间(-pi/2,0)内的一切x也是成立的

显然：lim(x→0) cosx=1, lim(x→0) 1=1

故由夹逼定理可得：lim(x→0) sinx/x=1 

Answer 2

这是求数列极限，可转换为求函数极限：n换成x，极限过程变为x趋近于正无穷大，1/x就是趋近于0+（即从x=0的右边趋近于0），然后用等价无穷小替换sin 1/x ~ 1/x，所求极限函数就变成了(1/x) / (1/x)=1，所求原极限变成x趋近于0+时1的极限，等于1。

Answer 3

sin(x)/x当x趋近于0的极限时1，这是应该掌握的吧
然后就是题目中的1/n当n趋近于无穷时，就趋近于0，
所以极限也是1