Question

高一数学：已知A,B,C∈R,求证：(A+B+C)平方≥3(AB+BC+CA)

速回速回！已知A,B,C∈R,求证：(A+B+C)平方≥3(AB+BC+CA)

Answer 1

A,B,C∈R,这个知道就行了。
不等式左边分解后为 a2 +b2 +c2 +2ab +2ac +2bc
把2ab,2ac,2bc与不等式右边的相同项抵消后
左边剩下 a2 +b2 +c2, 右边剩下 ab +ac +bc
两边同时乘以2，然后把右边的2ab + 2ac +2bc移到左边并化简
最后可得 (a-b)2 + (b-a)2 + (c-a)2 ，这个式子肯定是大于等于0的。
得证。

Answer 2

(a+b+c)2-3ab-3bc-3ca
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac-3ab-3bc-3ca
=a2+b2+c2-ab-bc-ca
=1/2(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)
=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]
因为：(a-b)^2>=0,(b-c)^2>=0,(a-c)^2>=0
所以：
a2+b2+c2-ab-ac-bc=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]>=0
所以：(A+B+C)平方≥3(AB+BC+CA)

Answer 3

(a+b+c)^2
=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
a^2+b^2≥2ab-----1/2(a^2+b^2)≥ab
同理.1/2(b^2+c^2)≥bc 1/2(a^2+c^2)≥ac
全加起来得: a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
把2ab+2bc+2ac加进去.(两边都加)
(a+b+c)^2≥3ab+3ac+3bc
即:(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ac)

Answer 4

(a+b+C)2>=3(ab+BC+CA)
a2+B2+C2+2ab+2ac+2bc>=3ab+3ac+3bc
a2+b2+c2>=ab+ac+cb
a2+b2>=2ab
b2+c2>=2bc
a2+c2>=2ac
2a2+2b2+2c2>=2ab+2ac+2bc
a2+b2+c2>=ab+ac+bc
成立 用反正法