Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c经过坐标原点,当x=1/3时有最小值-1/3.数列an的前n项和为Sn

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c经过坐标原点,当x=1/3时有最小值-1/3.数列an的前n项和为Sn，点（n.Sn）（n属于自然数）均在函数y=f(x)的图像上。
（1）求函数f(x)解析式
（2）求数列an的通项公式
（3）设bn=1/anan+1，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn小于m/20对所有n属于自然数都成立的最小正整数m

Answer 1

我的解法：
（1）依题意，函数方程可设为：f(x)=a(x-1/3)^2-1/3，把原点(0,0)代入得：a=3，
于是代入化简得：f(x)=3x^2-2x
（2）依题意：Sn=3n^2-2n，有a1=S1=1，当n>=2时，an=Sn-Sn-1=6n-5.
而a1满足上式，所以an=6n-5, n属于正整数。
（3）根据（2），bn=1/an*an+1=1/(6n-5)*(6n+1)=(1/6)*[(1/6n-5)-(1/6n+1)]
于是：Tn=b1+b2+...+bn=(1/6)*[(1-1/7)+(1/7-1/13)+...+(1/6n-11)-(1/6n-5)+(1/6n-5)-(1/6n+1)]
=(1/6)*[1-(1/6n+1)=n/6n+1.
令Tn<m/20即n/6n+1<m/20对所有n属于自然数都成立，即使m>20n/6n+1都成立。
而20n/6n+1=(10/3)*(1-1/6n+1)>=(10/3)*(1-1/7)=20/7，
另一方面20n/6n+1=(10/3)*(1-1/6n+1)<10/3
即有：20/7<=20n/6n+1<10/3
要使m>20n/6n+1对任意自然数n恒成立，只要使m>=10/3
进而可得最小的正整数m=4.

Answer 2

1 经过坐标原点,说明 c = 0
2 当x=1/3时有最小值-1/3，可以写出 y = a(x-1/3)^2 - 1/3 -〉 a * 1/9 = 1/3
结合上述1和2
a = 3 b= -2 c = 0
f(x) = 3x^2 -2x

3 Sn = 3n^2 -2n
Sn-1 = 3(n-1)^2 - 2(n-1)
an = Sn - Sn-1 = 3(2n-1)-2 = 6n-5

Answer 3