Question

中心在原点，一焦点为F1(0，5根号2)的椭圆被直线L: y=3x-2截得弦的中点横坐标为1/2，求此椭圆的方程？

Answer 1

Answer 2

∵椭圆的中心在原点，一个焦点为F1（0，5√2），∴可设椭圆方程为：y^2/a^2＋x^2/b^2＝1。
显然有：a^2－b^2＝50。······①

令y＝3x－2与椭圆相交于A、B。
∵A、B都在直线y＝3x－2上，∴可设A、B的坐标分别是（m，3m－2）、（n，3n－2）。
联立：y＝3x－2、y^2/a^2＋x^2/b^2＝1，消去y，得：（3x－2）^2/a^2＋x^2/b^2＝1，
（9x^2－12x＋4）/a^2＋x^2/b^2＝1，
∴9b^2x^2－12b^2x＋4b^2＋a^2x^2＝a^2b^2，
∴（a^2＋9b^2）x^2－12b^2x＋4b^2－a^2b^2＝0。

显然，m、n是方程（a^2＋9b^2）x^2－12b^2x＋4b^2－a^2b^2＝0的两根，∴由韦达定理，有：
m＋n＝12b^2/（a^2＋9b^2），∴（m＋n）/2＝6b^2/（a^2＋9b^2）。
∵A、B的横坐标分别是m、n，∴AB中点的横坐标是（m＋n）/2，∴6b^2/（a^2＋9b^2）＝1/2，
∴12b^2＝a^2＋9b^2，∴3b^2＝a^2。······②

①＋②，得：2b^2＝50，∴b^2＝25，∴a^2＝3b^2＝75。
∴满足条件的椭圆方程是：x^2/25＋y^2/75＝1。