Question

一道大一数学题，急等！

设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，试证函数g(x)可导，且g'(x)连续。gx当x≠0，gx=f(x)/x,当x=0,gx=f'(0)............我现在会证可导，但不会证明在x等于0时导函数连续。我的思路是证明当x→0时，lim g'(x)=g'(0)=0；我用洛必达法则证明到当趋近于0时，lim g'x=lim 1/2f"(x)，然后怎么也证不出来了，还有f"x是连续的这个条件也没用上，急啊，求解答……

Answer 1

由于g（x）=f（x）/x，直接对g（x）求导后，g‘（x）=（f'(x)-f(x)）/x²，显而易见x=0是g‘（x）的间断点，在第一问证明完可导的基础上，只需再证明g‘（x）在0点左侧和右侧的极限相等且等于g‘（0）即可。你用洛必达法则证明到当趋近于0时，lim g'(x)=lim 1/2f"(x)，实际上，由于f‘’（x）连续，lim然后再求lim g'(x)=1/2 f"(0)，此时由定义式求g'(0)=lim(x→0)（g(x)-g(0)）/x=lim(x→0)（f(x)/x²），运用洛必达法则，继续=lim(x→0)（f ‘(x)/2x）=1/2 lim(x→0)f''(x)=1/2 f''(0)。综上所述，g‘（x）在定义域上连续。

Answer 2

g′(0)=lim {f(x)/x-f′(0)}/(x-0)=lim {f(x)-xf′(0)}/x²=lim {f′(x)-f′(0)}/(2x)=(1/2)f″(0)
x≠0,g′(x)={xf′(x)-f(x)}/x²
x→ 0 lim g′(x)=lim {xf′(x)-f(x)}/x²
=lim {x f″(x)+f′(x)-f′(x)}/(2x)
=lim {xf″(x)}/(2x)
=(1/2)f″(0)
=g′(0)
所以g′(x)在x=0连续。