复合函数单调性问题，思路？
已知函数f(x)=8+2x-x^2,g(x)=f(2-x^2)，试求g(x)的单调区间.解决这类问题先怎么算，然后怎么算，同增异减我知道，但区间应该怎么求呢？求每一步的过...
已知函数f(x)=8+2x-x^2,g(x)=f(2-x^2)，试求g(x)的单调区间.
解决这类问题先怎么算，然后怎么算，同增异减我知道，但区间应该怎么求呢？
求每一步的过程，请大师指点下，刚接触复合函数。不要用求导，因为没学过，谢谢！！貌似有4个单调区间，我该如何去判断呢？为啥？求解？ 展开
解决这类问题先怎么算，然后怎么算，同增异减我知道，但区间应该怎么求呢？
求每一步的过程，请大师指点下，刚接触复合函数。不要用求导，因为没学过，谢谢！！貌似有4个单调区间，我该如何去判断呢？为啥？求解？ 展开
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解：f(x)=8+2x-x²=-（x-4）(x+2)
故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(x²+2) ²+6( x²+2)
令t= x²+2，故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)²+9，对称轴t=3
当t=3时，x=±1；而t= x²+2的对称轴x=0
故：增减性分四步讨论
①x∈（-∞，-1]时，t= x²+2单调递减，此时t≥3，故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递减，故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递增
故：x∈（-∞，-1]时，g(x)单调递增
②x∈[-1，0]时，t= x²+2单调递减，此时t≤3，故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递增，故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递减
故：x∈[-1，0]时，g(x)单调递减
③x∈[0，1]时，t= x²+2单调递增，此时t≤3，故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递增，故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递增
故：x∈[0，1]时，g(x)单调递增
④x∈[1，+∞）时，t= x²+2单调递增，此时t≥3，故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递减，故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递减
故：x∈[1，+∞）时，g(x)单调递减
但愿没有计算、分析上的失误（以上全部心算的），但方法如此
故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(x²+2) ²+6( x²+2)
令t= x²+2，故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)²+9，对称轴t=3
当t=3时，x=±1；而t= x²+2的对称轴x=0
故：增减性分四步讨论
①x∈（-∞，-1]时，t= x²+2单调递减，此时t≥3，故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递减，故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递增
故：x∈（-∞，-1]时，g(x)单调递增
②x∈[-1，0]时，t= x²+2单调递减，此时t≤3，故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递增，故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递减
故：x∈[-1，0]时，g(x)单调递减
③x∈[0，1]时，t= x²+2单调递增，此时t≤3，故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递增，故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递增
故：x∈[0，1]时，g(x)单调递增
④x∈[1，+∞）时，t= x²+2单调递增，此时t≥3，故：g(x)=-t²+6t=-(t-3)
²+9单调递减，故：g(x)=f(2-x²)==-（2-x²-4）(2-x²+2)=-（x²+2) （x²+2-6)=-(
x²+2) ²+6( x²+2)单调递减
故：x∈[1，+∞）时，g(x)单调递减
但愿没有计算、分析上的失误（以上全部心算的），但方法如此
更多追问追答
追问
非常感谢你教了这多。
我把我的思路说出来，麻烦你帮我看下那里有问题？谢谢！
我的思路是，首先内函数令t(x)= 2-x^2这里可以知道内函数的单调增区间是(-∞,0）单调减区间是(0,+∞)。
然后看f(x)=8+2x-x^2,有这里可以得到f（x）在(-∞，1)上单调递增，(1,+∞)上单调递减
这里的f（x）的单调区间是不是g（x）的单调区间.？
如果不是？为什么可以令2-x^2=1.得到+1和-1又是什么么？求教下，谢谢
追答
不是。因为t(x)= 2-x²中的x不是f(x)=8+2x-x²中的x，即：函数中经常说的“此x非彼x”，f(x)=8+2x-x²中的x相当于t(x)= 2-x²中的函数值
根据f(x)=8+2x-x²可知对称轴x=1,由对称轴x=1可以判断f(x)=8+2x-x²的增减性，此时的x=1相当于t(x)= 2-x²中的函数值t(x)=1= 2-x²：此时x=-1、1及此函数的对称轴x=0,三点把定义域R划分成了4个区间。在根据这四个区间先讨论t(x)=1= 2-x²的增减性，并求出t(x)=1= 2-x²的四个值域区间，然后根据这4个值域区间，分别对应讨论f(x)=8+2x-x²的增减性
综合以上，原定义域划分的四个区间才是复合函数的单调区间
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