Question

若f(x)在[a,+∞)上连续，且limf(x)存在，证明：f(x)在[a,+∞）有界

Answer 1

因为lim(x->+∞)f(x)存在，不妨令其为a 则根据极限定义，对ε=1，存在正数d>0，使对任意x>d，有|f(x)-a|。

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。

Answer 2

因为lim(x->+∞)f(x)存在，不妨令其为a
则根据极限定义，对ε=1，存在正数d>0，使对任意x>d，有|f(x)-a|<1
即a-1
a，有a-1
=a，因为f(x)在[a,d]上连续，所以f(x)在[a,d]上有界
即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界
综上所述，f(x)在[a,+∞)上有界

Answer 3

设 lim f(x)=b,对ε=1，存在X>0，当x>X时，有|f(x)-b|<ε=1,即b-1<f(x)<b+1,|f(x)|<|b|+1
当x∈[a,X]时，f(x)是闭区间上的连续函数，所以有界，设|f(x)|≤A
取M=max{A,|b|+1},
则当x∈[a,+∞)时，有|f(x)|≤M,因此该函数有界

Answer 4

设limf(x)=A

则存在X>a,使得x>X时|f(x)-A|<1
因为f(x)在[a,X]上连续，因此存在最小值m，存在最大值M
所以min{m,A-1}<=f(x)<=max{M,A+1}
所以f(x)在[a,+∞）有界