Question

数学第十一题

Answer 1

双曲线x²/3-y²=1的实半轴a=√3；虚半轴b=1；半焦距c=2；右焦点F(2，0)

双曲线的渐近线：y=±(1/√3)x；

设过F的直线L与渐近线y=(1/√3)x垂直，垂足为M，那么直线L的斜率k=-√3，方程为

y=-(√3)(x-2)=-(√3)x+2√3；

由(1/√3)x=-(√3)x+2√3，得 x=-3x+6，即有4x=6，故x=3/2，y=3/(2√3)=(√3)/2；

即M(3/2，(√3)/2)；

再由-(1/√3)x=-(√3)x+2√3，得-x=-3x+6，2x=6，故x=3，y=-3/√3=-√3；

即N(3，-√3)；

∴∣MN∣=√[(3-3/2)²+(-√3-√3/2)²]=√[(9/4)+(27/4)]=√(36/4)=6/2=3.

追问

图像怎么看的

追答

过F(2，0)作直线L：y=-(√3)(x-2)=-(√3)x-2√3
与渐近线y=(1/√3)x垂直(图上的红线)；与上面
的渐近线相交于M(垂足)，与下面的渐近线相交
于N。求∣MN∣的长。∆OMN 是直角三角形。
图像怎么看的？就这么看啊。
更简单一点：∵∠MON=60°；∠OMN=90°；
∣OM∣=√[(9/4)+3/4]=√(12/4)=√3;
∴∣MN∣=(√3)tan60°=(√3)(√3)=3;