Question

常微分方程

x''+Ax=B,其中AB为常数（B不为0的时候），这样子的方程怎么解？我只需要这个，这是有关简谐振动的东东！！！急需~我需要解的形式以及如何确定最后解的参量，求助！！！拜托了亲！！！

Answer 1

这是个非齐次的二阶常微分方程，所以， 先考虑他的齐次形式
我就假设是x对t求导了啊，那这个方程的齐次形式就可以写成
x''+Ax=0 借这个方程的时候 设x=exp(mt) 就可以得到 x'=m*exp(mt) x''=(m^2)*exp(mt) 然后带回原方程就可以得到方程 m^2+A=0 然后你就可以得到 m1=+(-A)^(1/2)，m2= -(-A)^(1/2)这个时候还要分类讨论，
如果你A小于零， 那么 -A 就大于零 ，那么你上面方程的解就是两个的实根，这个时候你这个其次形式的方程的解的形式就是 yc=C1* exp(m1*x)+C2*exp(m2*x) C1 C2 都是常数
如果你A大于零（我也不知道简谐振动里允不允许有复数形式。。。。） ，A大于零就是m为两个复根。那你就把m写成复数的形式，比如说m1=+i*A^(1/2) ,m2=-1*A(1/2)
那你的齐次形式的方程的解就是yc=B1*cos（A^(1/2)+B2*sin (A^(1/2)) B1 B2也都是常数

这个时候你再来考虑非齐次的形式 也就是 x''+Ax=B 因为你的B是个常数，所以用待定系数法做就是设 非齐次方程的特殊解为 yp=K0+ K1x然后yp‘=K1 yp''=0 代回原方程 就解出K1=0，K0= B/A

然后这个非齐次方程的通解就是你见面求出来的那个yc加上这个yp
即y=yc+yp

目测是这样了。。。。。希望是对的。。。。