Question

若正实数a,b、满足a+b+3=ab，则a^2+b^2的最小值为

Answer 1

－7。

a^2+b^2

=(a+b)^2-2ab

=(ab-3)^2-2ab

=a^2b^2-8ab+9

=(ab-4)^2-7

所以最小值为－7。

解方程的方法：

1、估算法：刚学解方程时的入门方法。直接估计方程的解，然后代入原方程验证。

2、应用等式的性质进行解方程。

3、合并同类项：使方程变形为单项式。

4、移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边。

例如：3+x=18

解：x=18-3

x=15

Answer 2

我晕，a^2+b^2明显是个非负数，怎么就是－7了呢！

由a+b+3=ab可得，
(a+b)^2 = (ab-3)^2
于是a^2+b^2+2ab= a^2*b^2-6ab+9
又由于a^2+b^2 >= 2ab
所以a^2*b^2-8ab+9 >= 2ab
所以(ab-9)(ab-1) >= 0
所以ab >= 9 或是 ab <= 1
但是ab= a+b+3 > 3(a,b均为正实数）
所以ab >= 9
所以a^2 + b^2 >= 2ab >= 18
而当a=b=3时，可以满足上述条件，正好可以得到最小值18
因此，a^2 + b^2的最小值为18

Answer 3

最小值是18当a=b=3时，取最小值，理由如下：
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(ab-3)^2-2ab=t^2-8t+9(t=ab)
因为ab=t,a+b=t-3,所以a,b满足方程x^-(t-3)x+t=0,又a,b存在，
则判别式[-(t-3)]^2-4t>=0,则t>=9或t<=1
有a,b是正数，所以取t>=9,可知道t^2-8t+9在t=9是最小，为18，
这时，又方程x^-(t-3)x+t=0，且t=9可以求出a=b=3

Answer 4

a^2+b^2 = (a+b)^2 -2ab =(ab-3)^2 - 2ab =
a^2b^2 -8ab + 9 = (ab-4)^2 - 7

所以最小值为 －7

Answer 5

a+b=ab-3
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(ab-3)^2-2ab=a^2b^2-8ab+9
=a^2b^2-8ab+16-5=(ab-4)^2-7
那么，ab＝4时a^2+b^2的最小，且值为－7