Question

已知函数f(x)=-1/3x^3+1/2x^2+2ax (1)若f(x)在{2/3，正无穷}上存在单调增区间，求a的取值范围 (2)当0<a...

已知函数f(x)=-1/3x^3+1/2x^2+2ax
(1)若f(x)在{2/3，正无穷}上存在单调增区间，求a的取值范围
(2)当0<a<2时，f(x)在[1，4]上的最小值为-16/3，求f(x)在该区间的最大值

Answer 1

（1）a>=-5/9
(2)10/3

Answer 2

解：(1)、
函数f(x)=(1/3)x³+(1/2)x²+2ax.
求导，f'(x)=x²+x+2a.
由题设可知：
关于x的不等式x²+x+2a≥0.
其解集M与区间(2/3, +∞)的交集非空。
或者说，不等式2a≥-(x²+x)
必有解在区间(2/3, +∞)内。
∴问题可化为，求函数g(x)=-x²-x在(2/3, +∞)上的最大值（或上确界）。
显然，在(2/3, +∞)上，恒有：g(x)＜g(2/3)=-10/9.
∴应有：2a≥-10/9
∴a≥-5/9
(2)、
f'(x)=-x^2+x+2a=-(x-1/2)^2+2a+1/4
当0<a<2时，f(x)在[1,4]上先增后减
所以f(x)在[1,4]上的最小值=min{f(1),f(4)}=min{2a-1/6,8a-40/3}=8a-40/3=-16/3，a=1
f(x)在该区间上的最大值=f(2)=10/3