Question

不定积分：假分式如何 化成真分式？ 有什么技巧吗？ 例如 (3X^4+X^2+1)/(X^2+X-6) 求过程 求总结性的方法

分母拆分有什么技巧？根据什么来怎么拆分增补？
50分送上

Answer 1

对于假分式，要先化成多项式+真分式
对于(3X^4+X^2+1)/(X^2+X-6)

一般方法只有用通常的竖式除法，没有什么技巧。
先取商3X^2，然后3X^4+X^2+1-3X^2(X^2+X-6)等

也可用下面的加项办法：
3X^4+X^2+1
=(3X^4+3X^3-18X^2)-3X^3+18X^2+X^2+1
=3X^2(X^2+X-6)-3X^3+3X^2-18X+16X^2+18X+1
=3X^2(X^2+X-6)-3X(X^2+X-6)+22X^2-18X+1
依次下去即可

Answer 2

一个假分数可以化为带分数的形式，与其相类似，如果一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化成整式部分与分式部分的和。这种方法称为拆分法。运用拆分法可以解决许多分式运算中较为复杂的问题。
首先，看分母上最高次项的系数，与分母最高次项系数的比值，提出最大公约数乘以分母，减去多余出来的项，加上减出去的项
3x^4
=3x^2(x^2+x-6)-3x^3+18x^2

3x^4+x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x^3+18x^2+x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x^3+19x^2+1
然后，通向的方法拆分剩下的最高次项
-3x^3
=-3x(x^2+x-6)+3x^2-18x

3x^2(x^2+x-6)-3x^3+19x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+3x^2-18x+19x^2+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22x^2-18x+1

最后，剩下的和分母的最高次项相同，还能拆解最后一次，同样的方法
22x^2
=22(x^2+x-6)-22x+132

3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22x^2-18x+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22(x^2+x-6)-22x+132-18x+1
=3x^2(x^2+x-6)-3x(x^2+x-6)+22(x^2+x-6)-40x+133

约分以后剩下：3x^2-3x+22-(40x-133)/(x^2+x-6)
分母可以分解因式，分解后得(x+3)(x-2)
剩下的分数分母上剩下的明显可以分成(x-2)的倍数加一个常数的式子
3x^2-3x+22-(40x-133)/(x^2+x-6)
=3x^2-3x+22-[40(x-2)-53)/(x+3)(x-2) 约分，得
=3x^2-3x+22-40/(x+3)+53/(x+3)(x-2)