Question

在长方形ABCD中，AB=67，BC=30,点E、F分别是AB、CD边上的两点，BE+BF=49，那么三角形DEF面积的最小值是多

Answer 1

解：设BE长度为X，
则△DEF的最小值=长方形ABCD减去边上3个小直角△的最大值
△ADE的面积=1/2*30*(67-x)
△CDF的面积=1/2*67*（30-49+X）
△BEF的面积=1/2*X*（49-X）
从而3个小直角△的面积s=1/2*30*(67-x)+1/2*67*（30-49+X）+/2*X*（49-X）
=-0.5X*X+43X+368.5
当X=-b/2a
=-43/(2*(-0.5))
=43 时S最大
此时s=-0.5*43*43+43*43+368.5
=924.5+368.5
=1293
∴△DEF面积的最小值=30*67-1293=717

Answer 2

BF=49-BE≤49
∴FC=√(BF²-BC²)≤√(49²-30²)≈38.74
∴DF=DC-FC≥67-38.74=28.26
∴三角形DEF面积=½DF·BC≥½×28.26×30=423.9
即：三角形DEF面积的最小值是423.9。

Answer 3

解：因为S△DEF=1/2×DF×30=15DF,所以要求S△DEF的最小值需求DF的最小值即只需求的FC的最大值（DF+FC=69),故设BE=x，BF=49-x,(0<=x<=49),由勾股定理知：CF^2=(49-x）^2-30^2= (x-49）^2-900>=0,解得，x<=19,或>=79(舍去）。所以0<=x<=19,f(x)=(x-49)^2-900,在x属于[0,19]单调减，所以f(x)min=f(19)=0,f(x)max=f(0)=1501,FCmax=√1501，所以Smin=15×(67-√1501)
=1005-15√1501.当且当E与B重合时取得最小值。

Answer 4

我是一名奥数辅导老师，这是一道小学奥数题，一元二次方程根本就没有学，更别说求极值了，经过我认真的思考后，觉得应该是这样做：
解：连接DB，
这时S△DEF=S△DEB+S△DFB-S△BEF=15BE+33.5BF-BE*BF/2
=15(BE+BF)+18.5BF-BE*BF/2=735-BF*(BE-37)/2
想要S△DEF最小，即要求BF*(BE-37)/2最大，在学篱笆问题那一块时，我们知道两个数的和一定，要面积最大也就是积最大，就取这两个数越接近越好，当然最好是相等。
题目中已知BE+BF=49，即BF+(BE-37)=12，要求BF*(BE-37)/2最大，即求BF*(BE-37)的最大值，即当BF=BE-37=6可得。
所以最小S△DEF=735-18=717
注明：此题乃是自己经过认真思考独立完成的，任何转载都需注明从我这转载。

Answer 5

根据已知条件画图，如图

△DEF高为固定值

则要使S△DEF最小，就要DF最小

当B、E两点重合时，DF最小

按书籍条件即可求出△DEF面积（过程略）

Answer 6

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