Question

证明x^3+x-1=0证明它有且仅有一个正实根。具体做法，谢谢。

Answer 1

令f(x)=x^3+x-1
求导f'(x)=3x^2+1>0恒成立，
所以f(x)在r上单调递增，
所以只存在一个实根，
在证明是一个正实根，f(0)=-1<0,
所以原函数零点大于0，即原方程只有一个实根

Answer 2

高中做法：
构造函数f(x)=x^3+x-1. 则在区间[0,1]，有f(0)=-1<0,f(1)=1>0
即f(0f(1)<0。所以在(0,1)内f(x)=0有正实根。
再证明f(x)=x^3+x-1是R上的增函数。所以它有且仅有一个正实根。

Answer 3

如果你知道导数的话 求导一下 它的导数恒大于0 所以在R上它是递增的
然后随便抓1个点带入函数 因为f0)<0 找到 一个f(x1)>0
这样再区间(0,x1)函数至少有一个解 又是递增的 所以 只有一个解

Answer 4

求导f(x)=3x^2+1 根据定义域x在R上 f(x)>0恒成立 则原函数单调递增 带入x=0 x=1 z则f(0)=-1 f(1)=1 就足以说明函数有一个正实根了 （f在R是连续的 又因为函数递增 0 1 c处的值符号相反则一定说明函数穿插X轴 即存在实根）

Answer 5

恩，首先可以用定义证明这是一个单调递增的函数 第二步，说明方程的根是正根
2 把0代入得到，-1<0 即此函数的根是正根 1代入时，1>0 即在（0 1）之间方程有一实根，又因为是增函数，必有唯一的一实根