Question

两个无穷级数那里做题遇到的问题，求解答！必采纳！谢谢

Answer 1

x^(1/x)求导有很多种方法,教你两个
一是对数求导法,令y=x^(1/x),两边取对数,得
lny=1/x*lnx
两边求导,1/y*y'=(1-lnx)/x²
y'=y(1-lnx)/x²=x^(1/x)*(1-lnx)/x²
第二种方法是利用二元函数的思想求全导数
令x=t,y=1/t,z=x^y=t^(1/t)
于是dz/dt=∂z/∂x*dx/dt+∂z/∂y*dy/dt
=yx^(y-1)*1+x^y*lnx*(-1/t²)
=y*x^y*1/x-x^y*lnx*1/x²
=x^(1/x)*[1/x²-lnx/x²]
=x^(1/x)*(1-lnx)/x²
因dx=dt,把等号左边的dz/dt换成dz/dx,就有f'(x)=x^(1/x)*(1-lnx)/x²