Question

微积分中tanx=(1-cosx)/sinx和tanx=sinx/(1+cosx)有什么区别?怎么用?例如∫dx／（1+√1-x^2）？

Answer 1

你那个不太对噢，应该是
tan(x/2) = sin(x/2)/cos(x/2)
= [2sin(x/2)cos(x/2)]/[2cos²(x/2)]
= sinx/(1 + cosx),答案1
= [sinx(1 - cosx)]/[(1+ cosx)(1 - cosx)]
= [sinx(1 - cosx)]/sin²x
= (1 - cosx)/sinx，答案2
这个方法比较适用于被积函数中含有三角函数的积分
例如∫ dx/(1 + sinx)，∫ cosx/(1 + sinx) dx，∫ sin²x/(1 + cosx) dx等等

你那个积分题目不适合用这个方法
应该用第二换元积分法
∫ dx/[1 + √(1 - x²)]
令x = sinz,dx = cosz dz
= ∫ cosz/(1 + cosz) dz
= ∫ [(1 + cosz) - 1]/(1 + cosz) dz
= ∫ dz - ∫ dz/(1 + cosz)
= z - ∫ (1 - cosz)/[(1 + cosz)(1 - cosz)] dz
= z - ∫ (1 - cosz)/sin²z dz
= z - ∫ (csc²z - csczcotz) dz
= z + cotz - cscz + C
= arcsinx + √(1 - x²)/x - 1/x + C

第二换元积分法用于消除有根号，且里面最高次方是二次方的被积函数
对于√(a² - x²)，令x = a * sinθ
对于√(a² + x²)，令x = a * tanθ
对于√(x² - a²)，令x = a * secθ

追问

恩应该是tanx/2，打错了，但是这个积分题目的答案是 arcsinx + x/【1+√(1 - x²1/)】+ C
我和你做的是一样的但与书上答案不太一样所以比较纠结，麻烦再看看，谢谢

追答

把你书里那个答案表达式打清楚吧，看不懂

追问

arcsinx + x/（1+√（1-x^2))+c

追答

呵呵，怎么你没从有理化这方面思考过呢
x/[1 + √(1 - x²)] * [1 - √(1 - x²)]/[1 - √(1 - x²)]
= x[1 - √(1 - x²)]/[1 - (1 - x²)]
= x[1 - √(1 - x²)]/x²
= 1/x - √(1 - x²)/x

所以另一个答案应该是arcsinx - x/[1 + √(1 - x²)] + C，中间那个是减号