Question

已知定点A(2,0),P点在圆x＾2+y＾2=1上运动,∠AOP的平分线交PA于Q点，其中O为坐标原点，求Q点的轨迹方程？

Answer 1

Q(x,y),P(a,b)
a^2+b^2=1......(1)

kAP=b/(a-2)
AP:y=[b/(a-2)]*(x-2)......(2)
OQ平分∠AOP
∠AOP=2∠AOQ,kOP=b/a
tg∠AOQ=k
kOP=2k/(1-k^2)=b/a
bk^2+2ak-b=0
△=(2a)^2+4b^2=4(a^2+b^2)=4
k=(-a±1)/b
OQ:y=[(-a±1)/b ]*x......(3)
解联立方程组(2)、(3)
y=[b/(a-2)]*(x-2)
y=[(-a±1)/b ]*x
得
x=2b^2/(3-3a),2b^2/(1-a)
y=2b/3,-2b*(1+a)/(1-a)
即可得OP与AP的交点Q的坐标
Q1[2b^2/(3-3a),2b/3],Q2[2b^2/(1-a),-2b*(1+a)/(1-a)]
由Q1[2b^2/(3-3a),2b/3]
y=2b/3，得
b=3y/2=1.5y
x=2b^2/(3-3a)=4.5y^2/(3-3a)
a=(x-1.5y^2)/x
把a=(x-1.5y^2)/x，b=1.5y代入（1），得
a^2+b^2=1
[(x-1.5y^2)/x]^2+(1.5y)^2=1
y^2*（4x-3y^2-3）=0
4x-3y^2-3=0是抛物线；
y=0,即点P、Q均在X轴，∠AOP=0

同理
Q2[2b^2/(1-a),-2b*(1+a)/(1-a)]
请你自己计算

Answer 2

设P(x,y),则满足x＾2+y＾2=1
三角形AOQ为等腰三角形,OA=OQ
Q点在AP的中点,所以
Q点坐标为[(2-x)/2;y/2]
tg∠QOA=(y/2)/(1-x/2)
tg∠POA=y/x
tg∠POA=tg2∠QOA=(2tg∠QOA)/[1-(tg∠QOA)^2]
y/x=[2(y/2)/(1-x/2)]/{1-[(y/2)/(1-x/2)]^2}

(2-x)^2-y^2=2x(2-x)
3x^2-8x-y^2+4=0
不知算对没有.

Answer 3

设P(Xp,Yp)，Q(X,Y)

由已知：|AQ| |AO|
---- =---- （角平分线）
|PQ| |OP|

=〉|AQ|=2|PQ|

→ →
=〉AQ = 2QP（转换成平面向量）

=〉{X-2,Y}=2{Xp-X,Yp-Y}
（Q点-A点） （P点-Q点）

=〉X-2=2(Xp-X)
Y=2(Yp-Y)

=〉Xp=(3X-2)/2
Yp=1.5Y

∵p在x^2+y^2=1上

=〉Xp^2+Yp^2=1

3X-2
=〉(----)^2+(1.5Y)^2=1
2

=〉(x-2/3)^2+y^2=4/9

∴正确答案：(x-2/3)^2+y^2=4/9