Question

高一数学,急

三角形ABC中,已知c＝√3,C＝π╱3,求三角形ABC的周长最大值..要过程,谢谢了

Answer 1

C＝60°
由余弦定理，得 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
cos60°=(a^2+b^2-(√3)^2)/2ab=1/2
∴ab=a^2+b^2-3
则 ab=a^2+b^2-3≥2ab-3， ∴ab≤3 ①
又 a+b>=2√ab②
由①②得 a+b最大值为 2√ab=2√3
则 a+b<=2√3 ③
又由三角形两边之和大于第三边，得
a+b>c=√3
则a+b最小值为 >√3
则 a+b>√3 ④
又 c=√3⑤
由③④⑤得 三角形周长取值范围是 2√3<a+b+c<=2√3+√3
则 (2√3,3√3]

Answer 2

c=√3，所以，求周长只要求a+b即可
由正弦定理；a/c=sinA/sinC，b/c=sinB/sinC
把c=√3，C=π/3代入，得：a=2sinA，b=2sinB
所以，a+b=2(sinA+sinB)
C=π/3，则A+B=π-C=2π/3
则：B=2π/3-A， A∈(0,2π/3)
则：a+b=2[sinA+sin(2π/3-A)]
=2[sinA+(√3/2)cosA+(1/2)sinA]
=2[(3/2)sinA+(√3/2)cosA] 提取√3
=2√3[(√3/2)sinA+(1/2)cosA]
=2√3sin(A+π/6)
因为A∈(0,2π/3)，则：A+π/6∈(π/6,5π/6)，则：sin(A+π/6)∈(1/2,1]
则a+b=2√3sin(A+π/6)∈(√3,2√3]
即：a+b的最大值为2√3
因为c=√3
所以，周长的最大值为3√3

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 3

三角形里面，由余弦定理可知：cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
代入数据知：a^2+b^2=3+2ab*0.5=3+ab
所以，（a+b）^2=3+3ab≤3+3*((a+b)/2)^2（基本不等式的运用）
解得 a+b≤2√3，所以周长≤3√3
当且仅当a=b=√3时，取得最大值3√3

祝你好运！

Answer 4

由余弦定理：
c2=a2+b2-2abcosC，将c＝√3,C＝π╱3代入得：
a2+b2-ab=3
由基本不等式：
a2+b2≥2ab
所以3≥2ab-ab=ab
即：ab≤3
再将
a2+b2-ab=3配方整理得：
(a+b)2-3ab=3
即(a+b)2=3ab+3≤3×3+3=12
所以a+b≤2√3
则a+b+c≤3√3
即△ABC周长的最大值为3√3

Answer 5

周长最大值为3√3
根据已知条件，由余弦定理得：
c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC
3=a^2 + b^2-a·b
由均值定理得：
（a+b）/2≥√（ab），取得等号时，a=b
当a=b时，代入式3=a^2 + b^2-a·b中，解得a=b=√3
所以周长=a+b+c=3√3
附：在平面几何图形中，求最大值时，应首先考虑等边形状。