Question

环形跑道追及问题，中公教材答案错了吧

题目：一条环形赛道前半段为上坡，后半段为下坡，上坡和下坡的长度相等。两辆车同时从赛道起点出发同向行驶，其中A车上下坡时车速相等，B车上坡时比A车慢20%，下坡时比A车快20%，问A车跑到第几圈时，两车再次齐头并进？

这道题答案给的是25圈，我自己算是24圈，下面是我的想法。

不妨设上坡和下坡长度都为S，A车速度为V，那么B车上坡为0.8V，下坡为1.2V。将它们画在t-V坐标系中，可知A车速度是条水平线，B车速度是个周期图像，周期为25S/12V。
设A车追上B车时刻为t,因为A车要从后面追上B车，所以t只能在A车速大于B车速的时间段内。可列出方程：2Sn+0.8V(t-25Sn/12V)+2S=Vt
（n为0-t包含的整周期的个数）
又因为 25Sn/12V<t<25Sn/12V+5S/4V
联立，解此方程组：可得21<n<24
n=22时，意思是A车从后面第一次追上B车；n=23应是A车第一次超过B车后，B车加速赶上之后，A车第二次超过B车
此处，应选n=22，即B车跑了22圈，正在跑第23圈过程中，A车追上了B车，此时A车正在跑第24圈。
你可以画出t-V坐标系。前22个周期结束时的时刻为t=550S/12V，下面进入第23个周期。在第23个周期中，550S/12V----565S/12V这段时间内，B速为0.8V，565S/12V-----575S/12V这段时间内，B速为1.2V。A速度一直是V。A第一次追上B的时刻为t=560S/12V，此后，560S/12V----565S/12V这段时间内A速大于B速，当t=565S/12V时，A领先B达S/12，此后，565S/12V----575S/12V这段时间内B速大于A速，当t=575S/12V时，B反而领先A达S/12。此时第23个周期已经结束。下面进入第24个周期，575S/12V----590S/12V这段时间内，A速大于B速，故，A在t=580S/12V时第二次追上B。
而第一次追上时，t=560S/12V，A走了560S/12，即70/3圈，就是正在跑第24圈

Answer 1

这个直接用vt图像的意义来解，求面积
设B走一圈的时间是t，A的速度是v，一圈的距离是S
B走完前半圈的时候用时0.6t，后半圈用时0.4t
有0.6tx0.8v+0.4tx1.2v=S
vt=25S/24
也就是说B每走一圈，A就比它多走了S/24圈
B走完24圈的时候A刚好比它多走了一圈的路程。
首先这个题目，B的速度是突然变的而不是渐变的，这个图像是阶跃函数。简单的说就是在B速度变换的那一刻，不能说他的速度是0.8v也不能说是1.2v。

Answer 2

我也觉得这个答案有问题 不过我的思路是首先从一圈圈的考虑
很明显可以得到B每跑一圈 A与B的路程比是25:24 这个算法很简单 得到B每跑完整一圈 A多跑1/24圈
可是还有每次B跑每圈的前半程是 因为是上坡 假设A速度1 B速度就是0.8 就有两者的这一小段的路程比是5:4 即B跑这前半圈 A跑了5/8圈 也就是多跑3/24圈
设B在跑第X+1圈的上坡时被追上 所以就有1≤1/24X+3/24 21≤X 刚好X=21时 2者相等
也就是讲B第22圈的中点时 被A追上 此时A跑的第23圈

再对答案加以验算 设整圈路程1 A速度为1
B跑了22个上坡 21个下坡 此时t=22*0.5/0.8+21*0.5/1.2=11/0.8+21/2.4=54/2.4=22.5
A跑了22个整圈加一个半圈 直接可得t=22.5
时间相同 路程刚好差1个圈
所以答案应该是第23个圈

未知数设的太多很容易让眼睛花 不如给个特定值 更容易计算也不会错

Answer 3

来验算一下你的答案，因为S和V在算式中可以抵消的，不妨设一圈距离为2，A车速度为1，那么A车跑1圈用时为2，B车用时为1/0.8 + 1/1.2=25/12
B车跑完22圈，用时为25/12 x 22=550/12，在这个时间内A车一共跑了550/12 /2=550/24=22.9圈
也就是说A车即将跑完23圈，将在其第24圈的前半圈追上B，你的思路好像是对的！
然后我们来看看B车跑完24圈，用时为25/12 x 24=50，而50/2=25，即A车刚好跑完25圈，答案似乎也是正确的，但是从B的第23圈开始到它的24圈结束，才相隔不到2圈，怎么那么快就又被A追上呢？遇到悖论了么？还是说我们哪里理解错了？等我吃完晚饭继续讨论，这题有意思~~~