Question

一道函数一致连续性的题

设函数f在区间I上满足一致连续，证明：f的绝对值的（1／m）次方（m为正整数）在区间I上一致连续

Answer 1

g(x）= x^(1/m), x>=0.
g(x)在[0,2]上一致连续，因为[0,2]是有界闭区间，任何连续函数都在有界闭区间上一致连续。当 x1>x2>=1 时，
g(x1)-g(x2) = x1^(1/m) - x^2(1/m)
= (x1-x2)/ ( x1^((m-1)/m) + x1^((m-2)/m)x2^(1/m)+...+ x2^((m-1)/m))
< x1 - x2 (因为分母中每项都 >1)
所以 g(x)在[1,无穷大)上一致连续. 所以 g(x) 在 x>=0 上一致连续。

f在区间I上 一致连续 ==》 |f|在区间I上一致连续 ==> g(|f|) 在区间I上一致连续。

Answer 2

|[f(x1)]^(1/m)-[f(x2)]^(1/m)|=|f(x1)-f(x2)| | 牛顿二项式展开的其余部分，有界 M | ≤M |f(x1)-f(x2)|
由此式子你应该会了。

追问

我就是不理解那个分母为什么有界